2.10 FUNCION IMPLICITA

	Funciones implícitas
	Las funciones pueden clasificarse en funciones explícitas e implícitas. Una función en la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al derivarlas, la idea es encontrar y’. Por ejemplo, la función  es una función explícita.
	En los casos en los que nuestra variable dependiente no esté expresada sólo en términos de la variable independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente a  es . Esta expresión no nos presenta a y en términos de x, por lo que en este caso tenemos a la función definida de manera implícita.

2.9 FUNCIONES CON DOMINIOS EN LOS NUMERO NATURALES Y RECORRIDOS EN LOS NÚMEROS REALES

Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,
o o

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,


Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.
La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.
Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.
Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.
Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.
También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.
También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.
Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…}  {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,
f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.
Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.


Que también puede ser denotado por,

2.8 FUNCIONES INVERSAS, LOGARITMICAS, TRIGONOMETRICAS INVERSAS.

FUNCIONES INVERSAS. Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica
de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal
manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del
punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera
curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz
del ángulo XOY.


FUNCIÓN LOGARITMICA. Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: y= log₁₀ x
 .Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la  función exponencial. Y= a^x  y y= log_a x.



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. En trigonometría, cuando el
ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de
longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en
radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,
y= sen X , y es igual al seno de x, la función inversa: X= arco sen y, x es el arco
cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.



http://mate-aprende.mex.tl/imagesnew2/0/0/0/2/1/6/8/7/7/3/CALCULO%20DIFERENCIAL%20TEORIA.pdf

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES

ALGEBRA DE FUNCIONES. Si f y g están definidos para todos los números
reales, entonces es posible realizar operaciones numéricas como la suma, resta,
multiplicación y división, con las respectivas funciones f (x) y g(x) . Estas
operaciones están definidas en la siguiente ilustración:
(f+g) (x) = f(x) + g(x)    Adición
(f-g)(x)= f(x)- g(x)     Sustracción
(fxg)(x)= f(x) x g(x)  Multiplicación
 (f/g) (x)= f(x)/g(x)    División 

De las funciones anteriores están todas y cada una de ellas en la
interacción de sus dominios excepto para los valores donde g(x) debe excluirse
del dominio de la función cociente.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Es una operación de funciones que consiste en
aplicar sucesivamente dos funciones en un orden determinado con lo cual se
obtiene una tercera función.  fog así obtenida se le llama la composición de
la función f con la función g.
El símbolo (fog) se lee “f compuesta con g”, “f seguida de g”.

2.6 FUNCION DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO



La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.
Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.
Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.
También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.
En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.

http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionDefinidaPorMasDeUnaReglaDeCorrespondencia#sthash.VJuoN3NS.dpuf

2.5 FUNCIONES TRASCEDENTALES

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno

f(x) = sen x





Función coseno

f(x) = cosen x


Función tangente

f(x) = tg x





Función cosecante

f(x) = cosec x





Función secante

f(x) = sec x





Función cotangente

f(x) = cotg x

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS

Un ejemplo de la función algebraica puede ser:




Esto es porque y = f(x) forma una solución de la ecuación polinómica y2 – x = 0. Una función que posea a x como valor de entrada, y que esté compuesto de un número de términos donde cada término tiene dos factores propios se llama función polinómica. De cada uno de los términos de los dos factores, uno es un número real, mientras que el otro se obtiene al elevar un número entero no negativo como una potencia de x del mismo.

Estas son de la forma general:





El valor de n es siempre positivo, también puede ser cero, pero nunca negativo y todos los coeficientes son números reales. El mayor valor de n es conocido como el grado de la función polinomial, aquí el valor de an nunca puede ser igual a cero, por lo que se conoce como el término principal.

Una función polinómica con una sola expresión es llamada también función monomial; sin embargo su comportamiento es el mismo. Una función polinomial con n como grado no puede tener más que n raíces diferentes. En este ejemplo la raíz de un polinomio es cualquier número z tal que f(z) = 0.

Una función f: X  Y es llamada función racional si es la razón de dos funciones polinómicas. No es necesario que los valores que se introducen en la función o los coeficientes de la función polinomial sean racionales para ser una función racional.

La notación utilizada para denotar una función racional es la siguiente.

En tal escenario, P(x) y Q(x) son funciones polinómicas en términos de x, y es esencial que Q(x) no sea una función polinomial de grado cero. Un ejemplo de una función racional puede ser la siguiente;

f(x) = (x2 + 1)/ (x – 1) donde (x2 + 1) y (x – 1) ambos son polinomios en términos de x y el polinomio (x – 1) no es un polinomio de grado cero. Una función f: X Y es llamada como un número irracional si sólo contiene números irracionales en el contradominio de su conjunto.

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionesAlgebraicasFuncionPolinomialFuncionRacionalEFuncionIrracional#sthash.FZSN6JPU.dpuf

2.3 FUNCIÓN REAL DE LA VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRAFICA

Función de Variable Real y su Representación Gráfica

Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales esllamada una función valorada real o simplemente una función real.
Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.
Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.
Al igual que en cualquier otra función, tambiéna una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.
Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.
El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.
Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”.

En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y co-dominiode su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real.

Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una función.

En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se llamará gráfica de la función valorada real.

Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es un par ordenado de números reales (x1, x2)y la salida, es decir, el gráfico formado es un triplete (x1, x2, f(x1, x2).

Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación:

1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.

El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X.

Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, sinola línea se formará por debajo del eje-x.

En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x.

Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará la gráfica.

2.2 FUNCION INYECTIVA, SOBREYECTIVS Y BIYECTIVAS

FUNCIÓN INYECTIVA. Es cuando a cada elemento del conjunto X (dominio) le  corresponde un solo valor distinto en el conjunto Y (imagen) de f tal que, en el 

conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. 

En otras palabras, de todo los pares x, y pertenecen a la funci n, la “y” no se 

repiten. 

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA. Es cuando a cada elemento del codominio es imagen de algún 

elemento del dominio. Es decir; es cuando en la función f(x) =y su recorrido es todo.

FUNCIÓN BIYECTIVA. Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. 

Es una función f con dominio D y contradominio E, siempre que A sea diferente de B en D entonces 

 f(a) sea diferente d f (b) en E

EXPLICACION DE FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO, CONTRA DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION.

CONCEPTOS

Variable:  
Es una literal a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se designan usualmente con las últimas letras del alfabeto las
cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto griego.

Dominio:
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.

El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)

DOMINIO. Es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores.
RANGO. Es el conjunto de valores obtenidos de la función.

Recorrido de una función:

Son los valores que puede tomar la Y tal que sea imagen de x

Recorrido de una función; Rf: y = f (x)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica 

1.7- RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

1.6- VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.

Para cualquier número, si:

 Entonces | x | = x  y  si

x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

| x | = 0 x = 0

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

| xy| = | x | | y |

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.

| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.

| - x | = x

1.5- RESOLUCION DE DESIGUALDADES

   RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA.

1.4- INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES

Intervalo: Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos dados: ay b que se denominan extremos del intervalo.

También se le llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que se representa una porción de la recta real.

Ejemplo:

(2,5) Es un intervalo de extremos 2 y 5 y a este pertenecen los números comprendidos entre 2 y 5 sin incluir sus extremos

Clases de intervalo:

*Intervalos abierto (a, b): Son todos los números entre a y b sin incluir sus extremos.

*Intervalos cerrados [a, b]: Son todos los números entre a y b   incluyendo sus extremos.

*Intervalos semiabiertos o semicerrados: (a,b] Son todos los números entre a y b incluyendo el extremo a.

*Intervalos infinitos: (a, infinito) son todos los números mayores que a.

INECUACION

Es toda expresión en la que aparece algunas de los símbolos ≤ ≥, < >

Las desigualdades como las inecuaciones se pueden clasificar en:

Verdaderas: -5>-10

Absurda: 3<-2

Inecuación: 5x-9≥2x+1

CLASIFICACION DE LAS DESIGUALDADES

*Desigualdades lineales: Son las más sencillas puesto que solamente obtienen la variable a la primera potencia

*Desigualdades lineales dobles: Son desigualdades lineales que contienen dos signos de comparación.

*Desigualdades cuadráticas: Como su nombre lo indica.

1.3- PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

el inverso aditivo para esta suma es el número 

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

,   el inverso multiplicativo para esta multiplicación es 

Bibliografia:

Algebra intermedia, Larson Hosteller Neptune, 2001. Algebra intermedia, Allen R. Ángel, 2008.