Calculo diferencial

domingo, 30 de noviembre de 2014

UNIDAD 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1.- RECTA NORMAL Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí. Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.

El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:

1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.

En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.

2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.

La ecuación se convierte entonces en x = x1.

Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.

Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.

Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.

Además, el producto de sus pendientes es −1.

Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.

Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 +

) x y la recta y = (1 -

) x

Encuentre la pendiente de y = (1 +

)x, obtenemos

dy/dx = d((1 +

)x) / dx

= 1 +

Del mismo modo, para la recta y = (1 -

)x, la pendiente resulta ser 1 -

Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos

m1.m2 = (1 +

). (1 -

)
m1.m2 = - 1

Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.

http://mitecnologico.com/igestion/Main/CurvasOrtogonales#sthash.7qktrVTZ.dpuf

5.2.- TEOREMA DE ROLLE TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

El teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
El Teorema de Rolle afirma que si f es una función valorada real la cual es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferencial en el intervalo abierto (a, b) tal que f (a) = f (b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) donde la pendiente de la tangente trazada en ese punto es 0.

Considere una función valorada real que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) tal que el valor de la función es igual en los extremos finales.

Dado que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), por tanto, puede tener tangentes en varios puntos de la gráfica de la función.

Sin embargo, habrá al menos un punto en la gráfica donde la tangente será paralela al eje X y por tanto su pendiente será 0.

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

http://www.dervor.com/teoremas/teorema_valor_medio.html

5.3 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico

.

"Sea

un punto crítico de una función

que es continua en un intervalo abierto

que contiene a

. Si

es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en

, entonces

puede clasificarse como sigue."

1. Si

cambia de positiva a negativa en

, entonces

tiene un máximo relativo en

.

2. Si

cambia de negativa a positiva en

, entonces

tiene un mínimo relativo en

.

3. Si

es positiva en ambos lados de

o negativa en ambos lados de c, entonces

no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

5.4.- ANÁLISIS DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES.

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso.

Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito.

Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes

http://www.ecured.cu/index.php/Aplicaci%C3%B3n_de_la_derivada_al_an%C3%A1lisis_de_funciones

5.5.- CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.

https://sites.google.com/site/aprenderjojo/inicio/calculo-diferencia/unidad-5-aplicaciones-de-derivada/55-clculo-de-aproximaciones-usando-la-diferencial

5.6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea.

Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función.

Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc.

La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrarlos valores mínimos o máximos locales.

Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo.

Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local.

El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función.

En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

UNIDAD 3.- LIMITES Y CONTINUIDAD

3.1 LIMITE DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.

Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos.

Expresado de una forma más precisa decimos que una sucesión an tiene límite j si la distancia de an a j se hace más pequeña que un valor que nosotros escojamos: e épsilon (por pequeño que sea éste) desde un término de la sucesión en adelante: lim an = j

Es decir que a partir de un valor de n la diferencia entre an y j : | an – j | se hace más pequeña que el valor e (épsilon) escogido.

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc1_Contenidos.html

3.2.- LIMITE DE UNA FUNCIÓN VARIABLE

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Considérese la función definida por: y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:

F (x) =3 cuando x–>1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también, Lim f (x)=3 ; x–>1 (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra “límite”, se dice que:

Lim f(x) = L; x–>a, si se puede hacer que f(x) este tan “cerca” de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente “cerca” de a, pero siendo distinta de a.

Límite.

Es cuando “X” se aproxima mucho a un valor sin ser el propio valor.

Ejemplos:
lim x+3/x-4 = lim (1)+3/(1)-4 = 4/-3 = – 4/3

https://calculobelindapastranaequipodebetty.wordpress.com/limites-de-una-funcion-de-variable-real/

3.3.- CALCULO DE LIMITES

Este es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o función, a medida que los parametros se acercan a determinado valor.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_7.html

3.4.- PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Primera propiedad
La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los
límites.
Segunda propiedad
La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia
de los límites.
Tercera propiedad
El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de
los límites.
Cuarta propiedad
Si una sucesión (an) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también
Quinta propiedad
Sean (an) y (bn) dos sucesiones convergentes que tienen por limites L1 y L2.

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n#Propiedades_de_los_l.C3.ADmites

3.5.- LIMITES LATERALES

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
x ® a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
x ® a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Límite lateral por izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Límite lateral por izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm

3.6.- LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente

está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee:

tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee:

tiende a menos infinito). Similarmente, cuando

crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe $f(x)\rightarrow +\infty$ , y si decrece tomando valores negativos escribimos $f(x)\rightarrow -\infty$ . Consideramos la función

definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ para $x\in I\!\!R-\{2\}$ . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando $x\rightarrow 2$ cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$ . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

En este caso, cuando $x\rightarrow 2^{+},\;(x\rightarrow 2,\;x>2)$ , la función

tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como $f(x)\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$ , es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=+\infty}$

Ahora, cuando

toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, $f(x)\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 2^{-}$ , o sea $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ .

Ahora observe que es

la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que

tiende a valores cercanos a cero. Así $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ , o sea, $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow +\infty$ .

: En forma similar a la tabla anterior se tiene que $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow -\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$; 3.7.- ASINTOTAS; Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:; 3.8.- FUNCIONES CONTINUAS Y DESCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO; Discontinuidad evitable:

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

Discontinuidad No evitable:

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.; http://www.sangakoo.com/es/temas/discontinuidad-de-funciones-evitable-inevitable-o-de-salto-finito-y-esencial